baliokidetasun

SARRERA DESBERDINA:

Baliokidetasun-erlazio

Multzo-teorian eta algebran baliokidetasun-erlazio batek ${\displaystyle A}$ multzo bateko elementuen arteko erlazio bat definitzen du, elementuak euren artean baliokidetasun klaseetan antolatuz partizio bat sortuz. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ baliokidetasun-erlazioa da baldin eta erlazio bitar bihurkor, simetriko eta iragankorra bada.
Izan bedi${\displaystyle A}$ multzo ez huts bat eta ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ multzoaren gaineko erlazio bat. Erlazio hori baliokidetasun erlazioa izango da, baldin eta honako propietate hauek betetzen baditu:
${\displaystyle \forall x\in A:\ x{\mathcal {R}}x}$
${\displaystyle \forall x,y\in A:\ x{\mathcal {R}}y\Rightarrow y{\mathcal {R}}x}$
${\displaystyle \forall x,y,z\in A,\ x{\mathcal {R}}y\land y{\mathcal {R}}z\;\Rightarrow x{\mathcal {R}}z}$
${\displaystyle A}$ multzoko ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$-ren arteko baliokidetasun-erlazioa ${\displaystyle a\sim b}$ edo ${\displaystyle a\equiv b}$ moduetan idazten da erlazioa definiturik badago eta ${\displaystyle a\sim _{R}b}$, ${\displaystyle a\equiv _{R}b}$ edo ${\displaystyle a{\mathcal {R}}b}$, hala ez bada.
${\displaystyle A}$ multzoan ezarritako ${\displaystyle \sim }$ baliokidetasun-erlazioa, ${\displaystyle (A,\sim )\,}$ bikote ordenatuaren bidez adierazten da.
Aritmetika modularrean ${\displaystyle a\equiv b(mod{\mathcal {R}})}$ (${\displaystyle a}$ baliokide ${\displaystyle b}$ modulu ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$) bezala adierazten da.
${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ baliokidetasun-erlazioak azpimultzo disjuntuak definitzen ditu ${\displaystyle A}$ multzoan. ${\displaystyle x\in A}$ elementua emanik, ${\displaystyle x}$-rekin erlazionaturik dauden elementu guztiek honako baliokidetasun-klase hau definitzen dute:
${\displaystyle [x]=\{y\in A\,\mid y{\mathcal {R}}x\}}$
Baliokidetasun-erlazio batek sortzen dituen klase kopuruari ordena deritzo; kopurua finitua bada ordena finituko erlazioa izanik.
X-ren partiketa bat X-ren azpimultzo ez-hutsen P multzo bat da; beraz, X-ren elementu bakoitza P-ren elementu bakar baten elementua da. Gainera, P-ren elementuak binaka disjuntoak dira, eta haien lotura X da.
${\displaystyle \lbrace a,b,c\rbrace }$ multzoan ${\displaystyle \lbrace (a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\rbrace }$ erlazioak betetzen badira, erlazioaren baliokidetasun klaseen multzoak honako hauek dira:
${\displaystyle [a]=\{a\},~~~~[b]=[c]=\{b,c\}}$
Erlazio honetako baliokidetasun klase guztien multzoa ${\displaystyle \{\{a\},\{b,c\}\}}$ da.