ihes

SARRERA DESBERDINA:

Ihes-abiadura

Ihes-abiadura grabitateak lotzen duen edozein objekturi eman behar zaion abiadura da, gorputz batetik behin betiko urruntzeko. Ihes-abiadura (${\displaystyle v_{e}}$) gorputz edo sistema masiboaren masaren (${\displaystyle M}$) eta gorputzaren eta urruntzen ari den objektuaren masa-zentroak lotzen dituen distantziaren (${\displaystyle r}$) araberakoa da. Ekuazio honen bidez adieraz daiteke, non ${\displaystyle G}$ grabitazio unibertsalaren konstantea den:
${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}$
Nabarmenki, ihes-abiadura ez dago ihes egiten ari den objektuaren masaren menpe. Jaurtiketaren norabidearen menpe ere ez dago, ekuazioaren dedukzioan erakusten den bezala. Lurraren kasuan, itsas mailatik neurtutako ihes-abiadura 11,19 km/s da, hau da, 40.280 km/h. Neurketa hau Lurraren ihes-abiadura izenez ezagutzen da.
Termino orokorragoetan, ihes-abiadura honako baldintza betetzen duen abiadura da: objektu baten energia zinetikoaren eta energia potentzialaren arteko batura zero da. Ihes-abiadura hartu duen gorputz bat ez dago ez gainazalean, ez edozein erradiotako orbita itxi batean.
Objektu horren ihes-abiadura gorputz masibo baten gainazalaren kontrako norabidean doalarik, gorputzetik urrunduko da, etengabe motelduz. Beraz, objektuaren eta gorputzaren arteko distantzia infinitura hurbiltzen den neurrian, abiadura asintotikoki zerora hurbilduko da, inoiz ez itzultzeko. Ihes-abiadura minimoak suposatzen du ez dagoela marruskadurarik (alegia, atmosferak eragindako herrestatze-indarrik), gorputz masiboaren grabitazio-eraginetik ihes egiteko behar den aldiuneko abiadura handituko lukeenik. Bestalde, honek suposatzen du, halaber, bestelako azelerazio edo dezelerazio arrarorik ez dela egongo (esaterako, beste gorputzen eremu grabitatorioek sortutakoa).
M masa eta simetria esferikoa duen (izar baten edo planeta baten moduko) gorputz baten zentrotik distantziara dagoen ihes-abiadura, honako formula honek ematen du:
${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}$
non ${\displaystyle G}$ grabitazio-konstante unibertsala den (${\displaystyle 6,67\times 10^{-11}m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}$) eta ${\displaystyle g=GM/d^{2}}$ eremu grabitatorioaren balioa den, hau da, masa unitate batek, gorputzaren zentrotik d distantziara aske utziko bagenu, jasango lukeen azelerazio grabitatorioa. Adibidez, Lurraren gainazaleko ihes-abiadura 11,186 km/s ingurukoa da (40.270 km/h), eta gainazalean (${\displaystyle d=R_{Lurra}}$) eremu grabitatorioaren balioa 9,8 m/s² ingurukoa da.
Objektu bati emandako hasierako abiadura (${\displaystyle V}$) ihes-abiadura (${\displaystyle v_{e}}$) baino handiagoa bada, asintotikoki hurbilduko da gehiegizko abiadura hiperbolikora (${\displaystyle v_{\infty }}$). Hiru magnitude hauek ondoko ekuazioa betetzen dute:
${\displaystyle v_{\infty }^{2}=v^{2}-v_{e}^{2}}$
Bestela esanda, masa handiko gorputzaren erakarpen grabitatoriotik ihes egin ondoren, objektuaren abiadura izango da.
Lehenago definitu den moduan, ihes-abiadura ezin da aplikatu higikaria bere mugimendua errazten duten edo mugimendu horri aurka egiten dioten kanpo-indarren eraginpean badago. Alabaina, kanpoko indar horiek ez daudenean, atmosferaren gainetik propultsiorik gabeko ontzien kasuan gertatzen den bezala, aplikatu daiteke. Dena den, astronautikan, oso gutxitan izaten da helburua ontziak ihes-abiaduraraino azeleratzea, hauek espazioa zeharkatu dezaten. Ihes-abiaduraren balio hau, beraz, atmosfera uzterako momentuan, ontziak bidaia espaziala hasteko lortu behar duen abiadura-tartearen goiko muga da. Balio honek bigarren abiadura kosmiko izena hartzen du. Abiadura-tarte horren beheko muga, bestalde, ontziak gorputz masiboaren inguruan orbita zirkularra hasteko behar duen abiadura minimoa da. Balio honek lehenengo abiadura kosmiko edo abiadura zirkular izenak hartzen ditu.
Newtonen ‘Principia’ (De Mundi Systemate) liburuaren hirugarren alean, zientzialari ingelesak ihes-abiaduraren kontzeptua aurkezten du, mendi baten gailurretik jaurtigaiak jaurtitzen dituen kanoi baten adibidearen bidez (erresistentzia aerodinamikoa ez da kontuan hartzen adibide horretan). Jaurtigaia abiadura zirkularra (irudiko C) baino abiadura txikiagoan jaurtitzen denean, jaurtigaiak talka egiten du Lurraren kontra (irudiko A eta B), ibilbide parabolikoa jarraituz. Jaurtigaia abiadura zirkularraren abiadura berdinean jaurtitzen denean, jaurtigaia Lurraren inguruan orbitatzen hasten da, zirkunferentzia formako ibilbidea jarraituz (C). Jaurtigaia abiadura zirkularra baino abiadura handiagoan baina ihes-abiadura baino abiadura txikiagoan jaurtitzen denean, Lurraren inguruko orbita eliptikoan (D) sartzen da. Jaurtigaia ihes-abiaduraren berdina den abiadura batekin jaurtitzen denean, ibilbide parabolikoan sartzen da, eta orbitatik ateratzen da. Jaurtigaia ihes-abiadura baino handiagoa den abiadura batekin jaurtitzen denean, honek hiperbola izeneko orbita ireki bat jarraitzen du.
Ihes-abiadura gorputza aurkitzen den potentzial grabitatorioaren formaren araberakoa da; beraz, planteamendua desberdina izango litzateke baldin eta gorputza lotuta dagoen izarraren barrutik edo kanpotik bultzatua bada. Izarraren kanpoaldean, ihes-abiadura esplizituki adieraz daiteke, haren gainazaleko ${\displaystyle h}$ altueraren arabera, ekuazio honen bidez, non ${\displaystyle R}$ izarraren erradioa den:
${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{R+h}}}}$
Lurraren itsas mailatik 200 kilometrora, alegia, Lurreko orbita egonkor baxuena definitzen duen altueran, ihes-abiadura 11,02 km/s da. Eguzkitik unitate astronomiko batera (Eguzkiaren eta Lurraren arteko distantzia, 149,6 milioi kilometro) ihes-abiadura 42,04 km/s da, hau da, Lurraren ihes-abiaduraren lau halako. Horrela, gorputz bat atmosferaren gainetik Lurraren ihes-abiadura baino abiadura handiagoan baina Eguzkitik unitate astronomiko batera dagoen abiadura txikiagoan jaurtitzen bada, Lurraren erakarpenetik ihes egingo luke, baina ez Eguzkiarenetik. Beraz, Eguzkiaren inguruan orbitatzen geratuko litzateke.
Formalago definituta, ihes-abiadura eremu grabitatorio batean hasierako puntu batetik infinituraino joateko eta infinituan zeroko abiadurarekin amaitzeko behar den hasierako abiadura da, inolako azelerazio gehigarririk gabe. Abiadura guztiak eremuarekiko neurtzen dira. Beste modu batez ikusita, ihes-abiadura espazioko puntu batean honakoa da: grabitateak objektu bat infinitutik puntu horretaraino erakarriko balu objektu horrek izango lukeen abiadura.
Ihes-abiadura ez dago ihes egiten ari den objektuaren masaren menpe; eragina duena objektuaren energia da. ${\displaystyle m}$ masako objektu batek Lurraren eremu grabitatoriotik ihes egiteko behar duen energia ${\displaystyle GMm/r}$ da, objektuaren masaren menpeko funtzio bat alegia (non r Lurraren erradioa den, 6371 km hain zuzen ere, G grabitazio unibertsalaren konstantea eta M Lurraren masa, ${\displaystyle M=5,97\cdot 10^{24}}$). Erlazionatutako magnitude bat energia orbital espezifikoa da, hots, energia zinetikoaren eta potentzialaren batura masaz zatitua. Objektu batek ihes-abiadura lortu du energia orbital espezifikoa zero edo zero baino handiagoa denean.  
Ihes-abiaduraren ekuazioa objektuaren energiatik ondoriozta daiteke, energia zinetikoarekin eta potentzialarekin lotutako hurrengo formulak erabiliz:
${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2},\quad E_{p}=-{\frac {GMm}{r}}}$.
Energia mekanikoaren (energia zinetiko eta energia potentzialaren batura) kontserbazio printzipioa aplikatzen dugu eta objektua distantzia infinituraino urrundu eta geldi geratzeko baldintza ezartzen diogu, hau da, bere energia mekanikoa 0 izango da eta kontserbatu egingo da):
${\displaystyle \Delta E_{m}=E_{m\,amaieran}-E_{m\,hasieran}=0}$
${\displaystyle E_{m\,amaieran}={\frac {1}{2}}m0^{2}-{\frac {GMm}{\infty }}=0}$ (amaierako abiadura zero eta distantzia infinitua izanik)
${\displaystyle E_{m\,hasieran}={\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}-{\frac {GMm}{r}}}$
${\displaystyle \Delta E_{m}\,=\,{\textstyle {\frac {1}{2}}}mv_{e}^{2}-{\frac {GMm}{r}}=0.}$
Beraz,
${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2gr}},}$
non:
- ${\displaystyle v_{e}}$ ihes-abiadura den.
- ${\displaystyle G}$ grabitazio unibertsalaren konstantea den (${\displaystyle 6,67\times 10^{-11}m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}$).
- ${\displaystyle M}$ izarraren masa den.
- ${\displaystyle m}$ ihes egiten ari den objektuaren masa den.
- ${\displaystyle r}$ izarraren eta objektuaren masa-zentroak banatzen dituen distantzia den.
- ${\displaystyle g}$ grabitatearen azelerazioa den; Lurraren gainazalean g = 9,81 m/s².
Ihes-abiadurarako adierazpen alternatibo bat hurrengo hau da:
${\displaystyle v_{e}={\sqrt {2gr}},}$
non ${\displaystyle r}$ gorputzaren zentrotik ihes-abiadura kalkulatzen ari den puntuarainoko distantzia den, eta ${\displaystyle g}$ gainazal-grabitatea den, hau da, grabitazioaren azelerazioa ${\displaystyle r}$ distantzian.
Biratzen ari den gorputz baten gainazalarekiko ihes-abiadura erlatiboa ihes egiten ari den objektuaren mugimenduaren norabidearen araberakoa da. Adibidez, Lurraren errotazio-abiadura 465 m/s-koa denez ekuatorean, Lurraren ekuatoretik ekialderantz tangentzialki jaurtitako suziri batek 10,375 km/s-ko hasierako abiadura behar du jaurtiketa-puntuan, mugimenduan dagoen gainazalarekiko. Lurraren ekuatoretik mendebalderantz tangentzialki jaurtitako suziri batek, berriz, 11,665 km/s -ko hasierako abiadura erlatiboa behar du. Gainazalaren abiadura gutxitu egiten da latitude geografikoaren kosinuarekin batera, eta, horregatik, jaurtiketa espazialeko instalazioak ekuatoretik ahalik eta hurbilen kokatzen dira.
Zulo beltzaren kontzeptua teoria grabitatorio modernoaren ondorio interesgarri eta nahasgarrienetako bat da, baina oinarrizko ideia printzipio newtondarretan oinarrituta uler daiteke.
Pentsa dezagun lehenik gure Eguzkiaren propietateetan. Bere masa ${\displaystyle M_{Eguzkia}=1,99\cdot 10^{30}kg}$ eta erradioa ${\displaystyle R_{Eguzkia}=6,96\cdot 10^{8}m}$ dira, alegia, edozein planetarenak baino askoz handiagoak; baina, beste izar batzuekin alderatuta, gure Eguzkia ez da erabat masiboa. Eguzkiaren batez besteko dentsitatea kalkula dezakegu:
${\displaystyle \rho _{Eguzkia}={\frac {M_{Eguzkia}}{4/3\cdot \pi R_{Eguzkia}^{3}}}=1410{\frac {kg}{m^{3}}}.}$
Ondorioz, Eguzkia, batez beste, ura baino %41 dentsoagoa eta arnasten dugun airea baino 1200 aldiz dentsoagoa da.
Ikus dezagun orain gorputz baten ihes-abiadura Eguzkiaren gainazalean. ${\displaystyle M}$ masa eta ${\displaystyle R}$ erradioko masa esferiko baten gainazalaren ihes-abiadura ${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{R}}}}$ da. Hori batez besteko dentsitatearekin lotu dezakegu. Ihes-abiaduraren adierazpenean ${\displaystyle M}$ ordezkatuz:
${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {8\pi G\rho }{3}}}\cdot R}$ .
Ekuazio horren edozein formarekin, gorputz batek Eguzkiaren gainazalean duen ihes-abiadura kalkula dezakegu: ${\displaystyle v_{e}\approx 618\ km/s}$ (gutxi gorabehera, 2.2 milioi km/h edo 1.4 milioi mi/h). Balio hori argiaren abiaduraren 1/500 ingurukoa da, eta ez du zerikusirik ihes egiten duen gorputzaren masarekin; Eguzkiaren masaren eta erradioaren (edo batez besteko dentsitatearen eta erradioaren) araberakoa baino ez da.
Har ditzagun orain ${\displaystyle \rho }$ dentsitate bera eta ${\displaystyle R}$ erradio desberdinak dituzten zenbait izar. (8) ekuazioak erakusten du, ${\displaystyle \rho }$ balio jakin baterako, ${\displaystyle v_{e}}$ ihes-abiadura ${\displaystyle R}$-rekiko zuzenki proportzionala dela. 1783an, John Mitchell astronomo amateurrak adierazi zuen, Eguzkiak batez besteko dentsitate bera baina. tamainaz 500 aldiz handiagoa izango balu, bere ihes abiadura argiaren abiadura baino handiagoa izango litzatekeela. Beste modu batez esanda, ez litzateke egongo ezer unibertsoan gorputz horretatik ihes egiteko abiadurarekin, ezta argia ere. Mitchell izan zen orain zulo beltza deitzen diogunaren existentzia iradoki zuen lehen pertsona.
Ikusi dugun ihes-abiaduraren azken adierazpenak iradokitzen du, halaber, M masako gorputz batek zulo beltz gisa jarduten duela haren ${\displaystyle R}$ erradioa erradio kritiko bat baino txikiagoa edo berdina bada. Nola zehaztu dezakegu erradio kritiko hori? Pentsa genezake ekuazioan ${\displaystyle v=c}$ eginez soilik kalkula daitekeela haren balioa. Izan ere, horrek emaitza zuzena ematen du, baina soilik bi akats konpentsatzen direlako. Argiaren energia zinetikoa ez da ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$, eta zulo beltz batetik gertu dagoen gorputz baten energia potentzial grabitatorioa ez du Newtonek eman zuen formula ${\displaystyle -{\frac {GMm}{r}}}$ betetzen, efektu erlatibistak nabarmenak baitira. 1916an, Karl Schwarzschildek Einsteinen erlatibitatearen teoria orokorra erabili zuen ${\displaystyle R_{s}}$ erradio kritikorako adierazpen bat, orain Schwarzschilden erradioa deitzen dena, ondorioztatzeko. Ekuazioan v eta c berdinduko bagenitu, hau da, ${\displaystyle v_{e}=c}$ egingo bagenu:
${\displaystyle R_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$ (Schwarzschilden erradioa)
Ondorioz, M masadun errotaziorik gabeko gorputz esferiko batek ${\displaystyle R\leq R_{s}}$ balioa badu, ezerk (ezta argiak ere) ezin izango du bere gainazaletik ihes egin, eta gorputzak zulo beltz bat bihurtuko da. Kasu horretan, zulo beltzaren erdigunetik ${\displaystyle R_{s}}$ distantzia baino gutxiagora dauden gorputz guztiak harrapatuta geratuko dira beren erakarpen grabitatorioagatik.
Zulo beltz baten dentsitatearen balioaren ideia bat egiteko, Lurraren masa izango lukeen zulo beltz batek 8,8 milimetroko erradioa izango luke: puxtarri baten tamaina. Bestalde, Eguzkiaren masa izango lukeen zulo beltz batek 2.95 kilometroko erradioa izango luke: Bilbo hiriaren antzekoa. Honekin batera aipa daiteke oxigeno atomo baten tamaina izango lukeen zulo beltzak ${\displaystyle \approx 3.85\times 10^{12}}$ kg-ko masa izango lukeela, alegia, 110000 aldiz Empire State Building-en masa^[1].