indar

Indar

Artikulu hau kontzeptu fisikoari buruzkoa da; beste esanahietarako, ikus «Indar (argipena)».

Fisikan, indar terminoak adierazten du gorputzen higidura-egoera edo pausagune-egoera aldaraz dezakeen edozein interakzio edo elkarrekintza. Indar baten eraginez, aldatu egiten da gorputzaren abiaduraren modulua edota norabidea; beste hitz batzuekin esanez, gorputz orok azelerazioa  jasaten du indar baten eraginpean dagoenean.
Indarra magnitude bektorial bat da, ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ sinboloaz adierazi ohi dena. Indar bat erreferentzia-sistema batean grafikoki adierazteko, kontuan hartu behar da indarrak non eragiten duen (aplikazio-puntua), zer norabide eta zer noranzko dituen (lerro gezidun batez adieraziak) eta zer neurri duen (bektorearen modulua). Nazioarteko SI sisteman, indarra neurtzeko unitatea newton izenekoa da, eta ${\displaystyle {\text{N}}}$ sinboloaz adierazten da. Indar-magnitudearen dimentsioak ${\displaystyle {\text{M L T}}^{-2}}$ osaera du.
Ariketak
Arkimedes (K.a. 287‒212) izan zen indar kontzeptua definitu zuen lehena. Berak uste zuen pausagunea zela objektu materialen egoera naturala, alegia, gorputzen berezko egoera naturala geldi egotea zela, eta gorputz orok geldi egoteko joera zuela, kanpoko kausa eragile batek eginiko indarrik jasan ezean; izan ere, bere aurretik bizi izandako Aristotelesen (K.a. 384-322) ideariari jarraituz, Arkimedesek uste zuen gorputzak kausa efiziente baten eraginpean egon behar zuela etengabe higiduran irauteko.  
Galileo Galilei-k (1564-1642) bestelako modu batez planteatu zuen indarraren definizioa, inertziaren legea proposatuz. Lege horren arabera, indarrik jasaten ez zuen indarrak higidura-egoera berean irauten zuen denboran zehar; hots, higidura konstantez higitzen zen. Agerikoa denez, lege horrek ukatu egin zuen Arkimedesek esandakoa.
Mende berean, Galileoren bide beretik, Isaac Newtonek (1642-1727) era matematikoan formulatu zuen indarraren definizio modernoa, eta hiru legetan bildu zituen indarraren definizioaren zehaztapenak.
Gorputz materialen higidurari buruzko lehenengo lege honetan, Newtonek adierazi zuen ezen, kanpo-indar baten eraginpean ez badago, gorputzak aurretik daukan higidura-egoeran irauten duela: geldi bazegoen, geldi iraungo zuen, eta abiaduran bazebilen, abiadura berean segituko zuen etengabe. Azken batez, lege honetan Galileok proposaturiko inertzia-legea onartu zuen, eta inertziaren legea edo printzipioa da. Hori egitean, Newtonen inplizituki onartu zuen ezin zela erabaki indarrik jasangabe zegoen gorputza “pausagunean” zegoen edo “abiaduraz konstantez higitzen” ari zen: izatez, abiadura kontzeptu erlatiboa zen, behaketan erabilitako erreferentzia-sistemaren araberakoa. Ondorioz, sistema berezi batzuk definitu ziren, erreferentzia-sistema inertzial izenekoak, kanpo-indarrik jasaten ez zituzten partikulekin batera zihoazenak. Halaber, ondorioztatu zen erreferentzia-sistema inertzial guztiak baliokideak zirela fisikaren legeak deskribatzeko; horregatik, erreferentzia-sistema inertzialen zinematikan erabiltzen diren erlazioei Galileoren transformazioak deritze, Galileok Newtonen aurretik eginiko ekarpena aitortuz.
Lege honek adierazten du, batetik, kanpotik eginiko indar batek gorputzean eragitean sortzen duen efektua nolakoa den, eta bestetik, efektu hori zer neurrikoa den. Era modernoan idatzita, lege hau ekuazio bektorial honen bidez adierazten da:$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\operatorname {d} \!{\boldsymbol {p}} \over \operatorname {d} \!t},}$$
non ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ gorputzean eragiten ari den indarra den eta  ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$ gorputzaren momentu lineala. Ekuazio hau, aldi berean, indar kontzeptuaren definizioa ere bada: indarra da momentu linealaren denborarekiko deribatua, momentu linealaren aldaketa denborala eragiten duena. Kasu berezi modura, indarrik ez badago edo kanpo-indarren indarren arteko oreka badago, kanpo-indar netoa nulua da, eta lehenengo legera itzultzen gara, hots, momentu lineala ez da aldatzen (momentu linealaren denborarekiko deribatua nulua da).
Bestalde, ${\displaystyle m}$ masadun partikularen kasuan ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}$ denez, masa konstantea den kasuan era honetan idatzi ahalko dugu bigarren legea:$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\operatorname {d} \!(m{\boldsymbol {v}}) \over \operatorname {d} \!t}=m{\operatorname {d} \!{\boldsymbol {v}} \over \operatorname {d} \!t}=m{\boldsymbol {a}}.}$$Hortaz, lege honek adierazten du proportzionaltasuna dagoela gorputzari eginiko indarraren eta gorputzak jasandako azelerazioaren artean, eta proportzionaltasun-konstantea gorputzaren masa dela.
Newtonek lege hau proposatu zuen kontuan izatean indarra jasaten zuen gorputzaren gaineko kanpo-indarra beste gorputz batek eginikoa izan behar zela, eta era berean lehenengo gorputzak indar bat egin behar ziola bigarrenari. Newton konturatu zen bi indar horiek elkarrekikoak zirela, biak aldi berean egindakoak, balio berekoak eta aurkako noranzkodunak. Era matematiko honetan formulatzen da hirugarren lege hau:$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{12}=-{\boldsymbol {F}}_{21},}$$non ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{12}}$indarra ${\displaystyle 1}$ gorputzak ${\displaystyle 2}$ gorputzari egiten dion indarra den, eta ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{21}}$, ${\displaystyle 2}$ gorputzak ${\displaystyle 1}$ gorputzari egiten diona. 
Lege honi akzio-erreakzioaren legea ere baderitzo. Lehenengo gorputzak bigarrenari akzio bat egitean, bigarrenak aurkako erreakzio bat egiten dio lehenengoari, aldi berean egin ere.
Hortaz, bi gorputzek osatutako sistema gorputz bakartzat kontsideratuz gero, bien arteko indar netoa nulua da etengabe:$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{12}+{\boldsymbol {F}}_{21}=0,}$$Hortik, akzio-erreakzioko indarrak batera kontsideraturik eta lehenengo eta bigarren legea bi gorputzen sistemari aplikatuz, erraz ondorioztatzen da bi gorputzek osaturiko sistemaren momentu lineala konstantea dela. Horixe da, hain zuzen, bi partikulak osaturiko sistemaren momentu linealaren kontserbazioaren printzipioa:$${\displaystyle m_{1}{\boldsymbol {v}}_{1}+m_{1}{\boldsymbol {v}}_{2}={\text{kte}}.}$$

Einstein erlatibitate bereziaren teorian, indar kontzeptuaren definizioa mekanika newtondarrean bezala egiten da, alegia, momentu linealaren denborarekiko deribatua dela esanez:
$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\operatorname {d} \!{\boldsymbol {p}} \over \operatorname {d} \!t},}$$Baina, kontuan izanez erlatibitatearen teorian baliokideak direla masa eta energia, eta abiadura handitzean masa ere handitzen dela, moldatu egin behar da momentu linealaren definizioa, modu honetan:$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}={\frac {m_{0}{\boldsymbol {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},}$$non ${\displaystyle m_{0}}$ pausaguneko masa den, ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ partikularen abiadura eta ${\displaystyle c}$ argiaren abiadura.

Hizkera arruntean gorputz bati indar bat egiten ari garela esaten dugunean, gorputzari sakatzen edo tiraka gabiltzala ulertzen dugu. Ulermen horretatik abiaturik, modu intuitibo bat dugu indarrak grafikoki adierazteko, zeren, sakatzean edo tiratzean, indarrek norabidea eta noranzkoa dutela adierazten baitugu, tamaina izateaz gain; alegia, indarrek izaera bektoriala dutela ulertzen dugu.
Horregatik, indarrak grafikoki adierazi nahi ditugunean, lerro gezidun modura adierazten ditugu espazio euklidearrean, bektore gisa. Eta gorputz berean aldi berean bi indar eragiten ari direnean, batuketa errekangeluarreko geometria aplikatzen diegu, bien eragin baliokidea izango duen indar erresultantea lortzeko; indarrak batzeko batuketa modu horri paralelogramoaren erregela esaten zaio, eta alboko irudian dago azalduta. Erregela hori aplikatuz, gorputz baten gainean ari diren indar guztiak indar erresultante bakar batez ordezka ditzakegu.
Partikula puntual baten gainean eragiten ari diren indar guztien erresultantea nulua denean (hau da indarren batura bektorialaren balioa zero denean), indarren arteko oreka dagoela esaten da: partikula orekan edo ekilibrio-egoeran dago. Dena den, puntutzat hartu ezin den solido zurrun estentso baten gainean ari diren indarrak orekan egoteko, indar erresultantea nulua izateaz gain, indar-momentu erresultanteak (torke izenekoak) ere nulua izan behar du. Bi motatako orekak daude: oreka estatikoa eta oreka dinamikoa.
Oreka estatikoa ondo ulertzen zen mekanika newtondarra sortu baino lehen. Gorputza etengabe geldi irauteari dagokion orekari deritzo estatikoa, eta geldi dagoen gorputzean modulu eta norabide berbera baina aurkako norankoa duten bi indarren kasua da. Adibidez, sabaira lotutako soka batetik zintzilik dagoen gorputzak beheranzko indar bat jasaten du (${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ pisua, Lurrak grabitatez egina) eta goranzko beste bat (sokaren ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ tentsioak egina). Biak modulu berekoak izanik, gorputza geldi dago eskegita, orekan, indar erresultantearen balio netoa zero baita. Newtonen bigarren legearen ondorioz, azeleraziorik ez du (soka apurtu ezean).
Oreka estatikoan dago, halaber, aldapa batean egon arren zoluko marruskadura-indarrari esker erortzen ez den kutxa bat; alegia, geldi dagoena. Kasu horretan, zoluak eginiko indarra ${\displaystyle ({\boldsymbol {F}})}$ bi osagaitan adierazi ohi da: osagai normala ${\displaystyle (F_{\text{n}})}$eta marruskadura-indarra ${\displaystyle (F_{\text{r}})}$. Eta horiek biek anulatu egiten dute kutxaren pisua ${\displaystyle ({\boldsymbol {P}})}$, Lurraren grabitatearen ondorioa dena.
Galileok azaldutako moduan, gorputza abiadura konstanteko higiduran ibiltzea eta pausagunean egotea egoera baliokideak dira dinamikaren ikuspuntutik, kasu bietan gorputzean eragiten ari den kanpo-indar netoa nulua baita. Horixe da, hain zuzen, Newtonen lehenengo legeak esaten duena. Horregatik, oreka dinamikoa deritzo, indar erresultantea nulua izanik gorputzaren abiadura konstantea den orekari ${\displaystyle ({\boldsymbol {v}}=0).}$ Oreka dinamikoaren adibide bat hegazkinetik salto egin duen paraxutistaren kasua dugu: airearen marruskaduraz eraginez une batean muga-abiadurara iristen da eta ordutik aurrera abiadura konstantez erortzen da. Egoera horretan, jauskariaren eta jauskailuaren pisu osoak ${\displaystyle ({\boldsymbol {P}})}$ eta airearen marruskadura-indarrak ${\displaystyle ({\boldsymbol {F}}_{\text{r}})}$ modulu berbera dute, baina aurkako noranzkoa, eta elkar anulatzen dute. Paraxutistak eta paraxutak osatzen duten sisteman eragiten ari den indar erresultantea nulua da: biak osaturiko sistema oreka dinamikoan dago.
Gaur egun, zientziaren arloan unitate fisikoen nazioarteko SI sistema erabiltzen da mundu osoan. Sistema horretan, indar-unitatea newton  deitzen da euskaraz, eta letra xehez idazten da. Unitatearen sinboloa ${\displaystyle {\text{N}}}$letra larria da. Sistema horretan indarra unitate eratorria da, eta oinarrizko unitateetan adierazirik baliokidetza hau du: ${\displaystyle 1{\text{ N}}=1{\text{ kg·m·s}}^{-2}.}$
Bestelako sistemetako indar-unitateak ere erabili izan dira. Hauexek dira sistema horien izenak eta dagozkien unitateak, newtonetan dituzten balioekin.
Oinarrizko partikulen arteko indarrak oinarrizko partikulen artean gertatzen diren elkarrekintzak. Lau motatako oinarrizko elkarrekintzak ezagutzen dira naturan: grabitatorioa, elektromagnetikoa, nuklear bortitza eta nuklear ahula. Unibertsoan gauzatzen den edozein elkarrekintza edo interakzio hauetako batetik dator.
Masadun gorputz orok indar erakarle bat jasaten du beste edozein gorputzetatik, dagoen lekuan dagoela, elkarrekintza grabitatorioak irismen infinitua baitu. Beste elkarrekintzekin konparatuz, intentsitatez oso txikia den arren, masa oso handien kasuan izugarri handia da, hala nola Eguzkiaren eta Lurraren artekoa, indar horri esker ari baikara biraka Eguzkiaren inguruan.
Partikula elektrikoek jasaten duten interakzioa da, atomoen eta molekulen arteko aldaketen eragile nagusia. Indar honek ere distantzia infiniturainoko helmena du, baina indar grabitatorioa ez bezala, bi eratakoa izan daiteke, erakarlea edo aldaratzailea, kontuan izanik karga elektrikoa ere bi motatakoa dela (negatiboa eta positiboa).
Indar nuklear bortitza da atomoen nukleoa elkartuta mantentzen duena, protoiak eta neutroiak elkarrekin bilduz, eta oso distantzia laburretara baino ez du eragiten; hain zuzen ere, nukleoen barrukoa da.
Indar nuklear ahula ere atomoen nukleoaren barnekoa da desintegrazio erradioaktiboaren arduraduna da. Ahul esaten zaio aurrekoa baino 10¹³ aldiz txikiagoa delako.
Bi gorputz solidok elkar ukitzen daudenean, akzio-erreakzioaren printzipioa betetzen duten indarrak egiten dizkiote elkarri. Honela, ${\displaystyle A}$ gorputzak ${\displaystyle B}$ gorputzari ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ indarra egiten badio, ${\displaystyle B}$ gorputzak ${\displaystyle -{\boldsymbol {F}}}$ indarra egiten dio ${\displaystyle A}$ gorputzari. Oro har, ukipen-indarra bi osagaitan banatu ohi da: indar normala (ukipen-gainazalaren perpendikularra) eta indar tangentziala (ukipen-gainazalaren tangentziala). Indar normala sortzen da ukipen-gainazalean gorputz bakoitzak besteari egiten dion konpresioaren kausaz, eta indar tangentziala bi gainazalen arteko marruskaduraren kausaz.
Soka bat tenkatzeko edo gorputz bat luzatzeko egiten den indarrari trakzio-indar deritzo. Alderantziz, zutabe batek gainean daukan pisuari eusteko egin beharrekoa konpresio-indarra dela esan ohi da. Likido baten barruan sartzen diren gorputzek konpresio-indarrak jasaten dituzte, likidoaren barneko presioaren ondorioz. Bai tentsio-indarren zein konpresio-indarren norabidea gainazalaren prependikularra da, baina alderantzizko noranzkoak dituzte: tentsio-indarrek, gorputzetik kanporanzkoa; konpresio-indarrek, gorputzaren barruranzkoa. Horregatik, tentsio-indarrek gorputzak luza ditzakete, gehiago edo gutxiago, materialen elastikotasunaren arabera, eta konpresio-indarrek gorputzak konprimatu eta tamaina txikiagotzeko eragina dute.
Malguki bat (edo material elastiko bat) luzatzen edo konprimitzen denean, malgukian indar bat sortzen da hasierako egoera normalera itzultzeko: indar elastikoa deritzo. Indar horren balioa Hooke-ren legeaz kalkulatzen da, materialaren muga elastikoaren barnean. Lege hori ${\textstyle {\boldsymbol {F}}_{\text{e}}=-k\Delta x}$ eran adierazten da, ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{e}}}$indar elastikoa izanik, ${\displaystyle k}$ malgukiaren elastikotasun-konstantea eta ${\displaystyle \Delta x}$ luzatu edo konprimituriko distantzia. Minus zeinuak adierazten du indar elastikoak malgukiari eginiko luzapenaren edo konpresioaren aurkako noranzkoa duela, alegia, hasierako egoerara itzularaztekoa.
Gorputz solido inpermeable bat fluido baten barnean murgiltzean, gainazaleko puntu guztietan fluidoak eginiko konpresio-indar bat jasaten du, gainazalaren perpendikularra eta gorputzaren barruranzkoa dena. Indar horren balioa presio hidrostatikoa deritzon magnitudearen bidez eman ohi da; presio hidrostatikoak gainazalaren azalera-unitateko indarra adierazten du. Likido batean sartzean, presio hidrostatiko handiagotu egiten da sakonerarekin, ${\displaystyle P=\rho gh}$ formularen arabera, non ${\displaystyle \rho }$ likidoaren dentsitatea den, ${\displaystyle g}$ grabitatearen azelerazioa eta ${\displaystyle h}$ sakonera; izan ere, presio hidrostatikoa puntuak gainean daukan likido-zutabearen pisuaren ondoriozkoa da. Atmosferako aireari dagokion presio hidrostatikoa presio atmosferikoa da, eta gure gainean dugun airearen pisuari dagokio.
Erreferentzia-sistema ez-inertzialeko behatzaileak gorputz baten dinamika aztertzean Newtonen legeak modu egokian aplikatzeko, sistema inertzialekiko duen azelerazioaren ondorioz, kontuan eduki behar ditu sistema inertzialetan agertzen ez diren indar batzuk. Indar horiei indar irudikariak deritze. Mota desberdinetako indar irudikariak daude: indar zentrifugoa, Coriolisen indarra eta azelerazio angeluarraren ondoriozkoa.
Elektrikoki kargaturik dauden partikulek eremu elektromagnetikoan higitzean jasaten duten indarra da. Batetik, eremu elektrikoa kontsideratu behar da: ${\displaystyle q}$ karga elektrikoa daukan partikula geldi dagoenean, ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{e}}=q{\boldsymbol {E}}}$ indar elektrostatikoa  jasaten du, ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ eremu elektrikoaren kausaz. Baina partikula hori ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ abiaduraz higitzen badabil, ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ eremu magnetikoaren eragina ere jasaten du, ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{m}}=q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}}$ indarra hain zuzen. Bi eremuon eragina batera kontsideratuz, partikulak Lorentzen indarra  jasaten du, ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{em}}=q({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})}$ formulaz kalkulatzen dena.
Indarra funtsezko magnitudea da mekanikaren arloan, eta praktikan oso baliagarriak diren hainbat magnitude fisiko indar kontzeptuan oinarriturik daude. Horien artean aipagarriak dira magnitude hauek:
Definizioz, gainazal batean eginiko presioa deritzo bertan kanpotik eginiko indar normalaren eta gainazalaren azaleraren arteko zatidurari. Hortaz,$${\displaystyle P={\frac {F_{\text{n}}}{S}}}$$eran kalkulatzen da. Hauxe da presioaren izaera dimentsionala:$${\displaystyle [P]=\left[{\frac {{\text{M L T}}^{-2}}{{\text{L}}^{2}}}\right]={\text{M L}}^{-1}{\text{T}}^{-2}.}$$
Partikula puntual batean eragiten ari den ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$indar batek puntu finko batekiko duen ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$indar-momentua honelaxe definitzen da: indarrak partikularen puntu finkoarekiko duen ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ posizio-bektorearen eta ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ indarraren arteko biderkadura bektoriala. Sinbolikoki idatzita:$${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}.}$$Solido zurrunaren kasuan puntu finkoa eta indarraren aplikazio-puntua solidokoak direnean, indar-momentuak birarazi egiten du solidoa, adibidez, torlojuari indar eragiten dion giltzarekin gertatzen den bezala, ondorioz torlojua estutuz.
Indar-parea deritzogu norabide bera, aurkako noranzkoa eta modulu berbera duten bi indarrek osaturiko multzoari, baldin biak aldi berean solido batean eragiten ari badira. Hori da, adibidez, autoaren gidagailua birarazteko egiten ohi duguna bi eskuekin. Indar-parearen indar-momentuari torke ere esaten zaio batzuetan eta balio hau du:$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}},}$$non ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ bektorea bi indarren aplikazio-puntuen arteko posizio-bektorea den. Indar-horren modulua ${\displaystyle \tau =Fd}$ da, ${\displaystyle d}$ hori indarren norabideen arteko distantzia perpendikularra izanik.
Fisikan, bulkada deritzo partikularen gainean denboran zehar eragiten ari den indarraren integral denboralari. Bulkada magnitude bektoriala da, eta I sinboloaz adierazten da. Definizioz, ${\displaystyle t_{0}}$eta ${\displaystyle t_{1}}$aldiuneen artean partikulari emaniko bulkada$${\displaystyle {\boldsymbol {I}}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {F}}{\text{d}}t}$$da, eta indarraren definiziotik abiaturik ikus daitekeenez, ${\displaystyle t_{0}}$eta ${\displaystyle t_{1}}$ aldiuneen arteko bulkadaren balioa bi aldiune horien artean partikularen momentu linealak jasaten duen aldakuntzaren berdina da:  $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {p}}}{{\text{d}}t}}\rightarrow {\text{d}}{\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {F}}{\text{d}}t,}$$$${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}{\text{d}}{\boldsymbol {p}}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {F}}{\text{d}}t={\boldsymbol {I}}\rightarrow {\boldsymbol {I}}={\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{0}.}$$
Fisikan, lana deritzo partikularen gainean ibilbidean zehar eragiten ari den indarraren integral espazialari. Definizioz, ibilbideko ${\displaystyle A}$ eta ${\displaystyle B}$ puntuen artean partikularen gainean ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ indarrak eginiko lana$${\displaystyle W_{AB}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}}$$
da. Lana magnitude eskalarra da, ${\displaystyle W}$sinboloaz adierazten da eta SI sisteman joule deritzon unitatetan neurtzen da. Oinarrizko magnitudeen arabera, lanak energiaren egitura berbera du: ${\displaystyle {\text{M L}}^{2}{\text{T}}^{-2}}$. Kontuan izan behar da, ezen, indarraren eta desplazamenduaren arteko biderkadura eskalarra denez, ibilbidearekiko perpendikularra den indarrak lanik ez duela egiten. Horixe gertatzen da, adibidez, higidura zirkular uniformearen eta osagai normalaren kasuetan,non bi indar horiek eginiko lana nulua den.
Erreferentzia-sistema inertzial batetik indarrak eginiko lana aztertzean, indarraren eta deplazamendu infinitesimalaren balioak aldiuneko abiaduraren funtzioan adieraziz, eta eragiketa matematikoak eginez, azkenean honelaxe adierazi ahalko dugu ${\displaystyle A}$ eta ${\displaystyle B}$ puntuen artean indarrak eginiko lana ${\displaystyle A}$ eta ${\displaystyle B}$ puntuetako abiaduren bitartez: $${\displaystyle W_{AB}=\int _{A}^{B}{\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}=\int _{A}^{B}m{\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}\cdot {\boldsymbol {v}}{\text{d}}t=\int _{A}^{B}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {1}{2}}m{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}\right),}$$$${\displaystyle W_{AB}=\left[{\frac {1}{2}}mv^{2}\right]_{A}^{B}={\frac {1}{2}}mv_{B}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{A}^{2}.}$$Horrela egitean, higitzen ari den partikula bati dagokion magnitude berri bat definitu dugu, energia zinetikoa, modu honetan:$${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}.}$$Energia zinetikoa magnitude eskalarra da, ${\displaystyle E_{\text{k}}}$sinboloaz adierazten da eta SI sisteman joule deritzon unitatetan neurtzen da, lana bezala. Oinarrizko magnitudeen arabera energia orok bezalako egitura du: ${\displaystyle {\text{M L}}^{2}{\text{T}}^{-2}}$. Magnitude honetan oinarriturik esan dezakegu ezen, ibilbideko bi punturen artean partikula baten gainean eragitean indar batek egiten duen lana partikularen energia zinetikoaren aldakuntza sortzeko erabiltzen dela.

Matematikaren ikuspuntutik hitz eginez, esan behar da lanaren definizioan integral kurbilineoa egin behar dela; hau da, integrala partikularen ibilbidea jarraituz kalkulatu behar dela. Horregatik, oro har, ibilbide bat hartu edo beste bat hartu, emaitza desberdina izan daiteke. Hala ere, naturan badira ezaugarri berezia duten indar batzuk: indar kontserbakorrak. Horien kasuan, ibilbidea edozein izanik, baina hasierako eta amaierako puntuak berdinak izanez gero, beti lortzen da emaitza berbera. Horrelakoak dira indar-eremu kontserbakorrak, eta kasu horretan, indarrak egiten duen lana ${\textstyle E_{\text{p}}=(x,y,z)}$funtzio eskalar batek hasierako ${\displaystyle A}$puntuan eta bukaerako ${\displaystyle B}$puntuan dituen balioen arteko kendura da:
$${\displaystyle W=\int _{A}^{B}{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}=E_{{\text{p,}}A}-E_{{\text{p,}}B}.}$$Funtzio eskalar horri energia potentziala deritzo. Energia potentziala ere magnitude eskalarra da, ${\displaystyle E_{\text{p}}}$sinboloaz adierazten da eta SI sisteman joule deritzon unitatean neurtzen da, lana eta energia zinetikoa bezala. Alboko irudian ageri denez, indar-eremua kontserbakorra izanik, emaitza berbera lortuko da edozein bidetatik joanik. Eta ibilbidea itxia den kasuan, ${\displaystyle A}$puntutik hasi eta ${\displaystyle A}$puntuan bukatuz, guztira eginiko lana nulua izango da. Alegia, eremu kontserbakorretan:$${\displaystyle \oint {\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}}$$izango da.

Wikipediarekin konexio arazoren bat gertatu da: