kubo

Kubo

Kuboa edo hexaedro erregularra sei aurpegi dituen poliedroa da. Sei aurpegi horiek berdinak dira, karratuak, hain zuzen. Ondorioz, kuboaren luzera, zabalera eta garaiera berdinak dira.
Kuboak sei aurpegi, zortzi erpin eta hamabi ertz ditu. ^[1] Horregatik, gainerako solido platonikoek bezala, poliedroetarako Eulerren erlazioa betetzen du, hau da,
${\displaystyle Aurpegikopurua+Erpinkopurua=Ertzkopurua+2}$
Hainbat solido motaren adibidea da: solido platonikoa, poliedro erregularra, paraleloedroa eta zonoedroa.
Kuboa ertz guztiak luzera berekoak dituen ortoedroaren kasu berezia da. Gainontzeko ortoedroen kasuan bezala, kuboaren aurpegi bakoitzak lau erpin ditu, eta horietako bakoitza hiru lerro kongruenterekin konektatzen da. Horrela, ertz horiek aurpegi karratuak osatzen dituzte. Ondoko bi karraturen arteko kubo baten angelu diedroa 90º-koa dela berehala ikusten da, angelua bat baitator karratu baten barne-angeluarekin.^[2]
${\displaystyle A=6a^{2}}$
Azaleraren kalkuluari dagokionez, kuboaren aurpegi guztien neurria berdina izatea oso baliagarria da. Kuboak karratu formako sei aurpegi ditu; karratuak direnez, euren alde guztiek luzera bera dute. Izan bedi a luzera hori. Karratuaren azalera oinarriaren luzera eta altueraren luzera biderkatuz lortzen da. Hortaz, karratuaren azalera ${\displaystyle a*a=a^{2}}$ izango da. Sei aurpegi berdin dituenez kuboak, bere azalera totala lortzeko nahikoa da aurpegi baten azalera sei aldiz batzea. Horrela, kuboaren azalera totala ${\displaystyle a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}=6a^{2}}$ dela lortzen da. ^[3]
${\displaystyle A=a^{3}}$
Bolumena kalkulatzeko ere kuboaren hainbat propietate oso baliagarriak dira. Hasteko, kontuan izan behar da, kuboa ortoedroa denez, bere bolumena kalkulatzeko nahikoa dela bere hiru norabideetako aldeen biderketa egitea, zabaleraren, altueraren eta sakoneraren artekoa, hain zuzen ere. Gainera, zabalera eta altuera biderkatzean funtsean aurpegietako baten azalera kalkulatzen ari garenez, bereahalakoa da kuboaren oinarriaren azalera ${\displaystyle a^{2}}$ dela. Azkenik, bolumena lortzeko, nahikoa da azalera horri sakonera ematea; izan ere, kuboa, gainontzeko ortoedroak bezala, oinarri baten espaziorako luzapena baino ez da. Zenbat luzatzen den kuboaren sakonerak adierazten duenez, eta sakonera hori ere karratu baten aldea denez, nahikoa da azalera hori ${\displaystyle a}$-z biderkatzea. Ondorioz, kuboaren bolumena ${\displaystyle a^{2}*a=a^{3}}$ da, non ${\displaystyle a}$ bere aldeen luzera den. ^[3]
Karratuari sakonera ematearen ideia garatzen jarraituz, integralen bidez ere posible da kuboaren azalera lortzea. Izatez, zuzen bat lortzeko nahikoa da puntu bati luzera ematea, gero karratu bihurtzeko zuzenari zabalera ematea nahikoa den bezala. Azkenik, karratuari sakonera emanez, kuboa osatuko litzateke. Beraz, kuboaren bolumenaren kalkulua integralen bitartez honakoa litzateke:
${\displaystyle \int _{0}^{a}\int _{0}^{a}\int _{0}^{a}dxdydz=\int _{0}^{a}\int _{0}^{a}adydz=\int _{0}^{a}a^{2}dz=a^{3}}$
Lehen integralaren bitartez zuzenaren luzera lortzen da, bigarrenaren bidez karratuaren azalera eta hirugarrenari esker kuboaren bolumena.
Aurpegia kuboa mugatzen duten eskualdeetako bakoitza da. Kuboaren kasuan, aurpegiak karratuak dira eta, guztira, sei dira. Aurpegi bakoitzak beste lau aurpegi ditu ondoan, hau da, beste aurpegi guztiak, kontrako aurpegia izan ezik. Hori dela eta, kontrako hiru aurpegi-pare daude kuboetan.
Ertza bi aurpegiren elkarketak osatzen duen lerro zuzena da, eta guztira kuboak hamabi ertz ditu. ^[4]
Ertzen (bi edo gehiagoren) arteko ebakipuntua erpina da. Kuboaren kasuan, hiru aurpegik edo hiru ertzek duten puntu komuna da erpina. Guztira, kuboek zortzi erpin dituzte.
Kontrako bi aurpegi hartzen baditugu, lehenengo aurpegiko erpin batetik bigarren aurpegiko kontrako erpinera doan zuzena kuboaren diagonala da. Guztira, lau diagonal izango ditu kuboak eta denak puntu batean ebakiko dira. Diagonal horien luzeraren kalkulua Pitagorasen teoremaren bidez egin daiteke:
${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+a^{2}+a^{2}}}={\sqrt {3a^{2}}}={\sqrt {3}}a}$
non ${\displaystyle a}$ kuboaren ertzen luzera den.
Zentroa kuboaren diagonalen ebakidurako puntua da. Bestalde, simetria-zentroa da.
Kuboa poliedro konbexua da; horrek esan nahi du, kuboaren aurpegietako bat barruan duen planoa hartuz gero, kuboa plano horrek mugatzen dituen espazioerdietako bakar batean geratzen dela. Are gehiago, kuboa aurpegi guztiak karratuak dituen poliedro konbexu bakarra da.
Kuboaren barrualdea haren mugen barruan dauden puntu guztien multzoa da, gainazala baztertuta. Kontrako bi erpin ${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$ eta ${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$ koordenatuen bidez adierazten baditugu, honela adieraz daiteke barrualdea:
${\displaystyle Barrualdea(C)=\{(x,y,z)\in R^{3}:x_{1}<x<x_{2},y_{1}<y<y_{2},z_{1}<z<z_{2}\}}$
Kuboaren aurpegietan dauden puntu guztien bildurari kuboaren muga esaten zaio.
Puntu bat ez baldin badago barrualdean ezta mugan ere, kanpoko puntua da. Kanpoko puntuen multzoari kanpoaldea deritzo. Barrualdearen, kanpoaldearen eta mugaren bildurak espazio osoa osatzen du. Gainera, multzo horiek disjuntuak dira. Kontrako bi erpin (x₁, y₁, z₁) eta (x₂, y₂, z₂) koordenatuen bidez adieraziz gero, honela defini daiteke kanpoaldea:
${\displaystyle Kanpoaldea(C)=\{(x,y,z)\in R^{3}:x_{1}\leq x\leq x_{2},y_{1}\leq y\leq y_{2},z_{1}\leq z\leq z_{2}\ betetzen\ ez\ denean\}}$
Espazioko puntuen multzoa irekia da baldin eta, bertako edozein puntu hartuz gero, posible bada puntua barne duen eta multzotik ateratzen ez den esfera bat marraztea. Adibidez, barrualdea eta kanpoaldea multzo irekiak dira.
Kuboa gorputz konexua da, hau da, pieza bakarrekoa. Izan ere, ezin dira ebakidura hutseko bi multzo ireki egon haien bildura kubo osoa denik.
Solido platonikoa antzinatik ezagutzen den poliedro multzoa da. Platonek bere Timaeus elkarrizketan izendatu zituen, eta bertan naturarekin erlazionatzen zituen. Horietako batek, kuboak, Lurraren elementu klasikoa irudikatzen zuen, bere egonkortasuna zela eta. ^[5] Euklidesen elementuak liburuak solido platonikoak definitzen zituen, kuboa barne, eta solido horiek erabili zituen esfera zirkunskribatuaren diametroaren eta ertzaren luzeraren arteko erlazioa aurkitzeko. ^[6]
Johannes Keplerrek, bere Harmonices Mundi liburuan, solido platoniko bakoitza aipatzen zuen, horietako bat kuboa izanik. Hain zuzen, Keplerrek zuhaitz bat irudikatzen zuen kuboaren gainean. Gainera, bere Mysterium Cosmographicum lanean, Keplerrek, bata bestearen barnean ezarritako solido platonikoak erabiliz, planetak irudikatuko zituzten sei esferaz osatutako eguzki-sistema bat proposatu zuen. Honela ordenatu zituen solidoak (barrutik kanpora hartuz): oktaedro erregularra, ikosaedro erregularra, dodekaedro erregularra, tetraedro erregularra eta kuboa.
Kuboa poliedro ez-konposatu bat da, hau da, ezin da bi poliedro erregularretan edo gehiagotan bereizi. Horregatik, kuboa poliedro konbexu berri bat eraikitzeko erabil daiteke, beste poliedro ez-konposatu batekin lotuz, adibidez.
Kubo formako objektuak ohikoak dira jokoetan. Horren adibide dira, besteak beste, dadoa eta Rubiken kuboa.
Arkitekturan maiz erabiltzen dira forma kubikoak. Hainbat funtziotarako erabili ohi dira, hala nola egituraren iraunkortasuna bermatzeko edo espazioa aprobetxatzeko. Beste kasu batzuetan, ordea, estetika hutseko funtzioetarako ere erabiltzen dira, eraikinaren itxura harmoniaz aurkezteko, esate baterako.
Hona hemen kubo itxurako zenbait eraikin ezagun:

Wikipediarekin konexio arazoren bat gertatu da: