triangelu

Triangelu

Triangelua, hiru alde eta hiru erpin dituen poligonoa da, geometriako funtsezko irudietako bat. A, B eta C erpinak dituen triangelua ABC bezala adierazten da. Hirukia ere erabiltzen da triangelua izendatzeko,  poligonoaren barrutia osatzen duten hiru angeluak direla eta.^[1]
Triangeluaren punta bakoitza definitzen duen puntua erpina deitzen da. Beste irudi geometrikoetan bezala, erpinak letra larriz izendatu ohi dira: ${\displaystyle A,B}$ eta ${\displaystyle C}$ (edo bestelako letrak erabiliz). ${\displaystyle AB+BC=AC}$ bada, ez da existitzen A, B eta C erpinek definitutako triangelua.
Triangeluak izendatzeko, haien erpinak aipatu behar dira ondoz ondo, adibidez, ABC. Gainera, erpinak edozein ordenatan eman daitezke, konbinazioak 6 izanik guztira ${\displaystyle (ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA).}$
Erpin bikote bakoitzak segmentu bat zehazten du, triangeluaren ertz izenez ezagutzen dena. Ertzak izendatzeko, haien erpinak aipatu behar dira ondoz ondo, eta ez du garrantzirik erpinen ordena, hau da, ${\displaystyle AB}$ eta ${\displaystyle BA}$ notazioek ertz berdina adierazten dute.
Ertz baten luzera adierazteko, letra xehea erabiltzen da, adibidez, ${\displaystyle A}$ erpinaren aurkako ertza adierazteko, ${\displaystyle a}$.
Triangelu baten hiru ertzen baturari perimetro deritzo, eta p notazioz adierazten da: ${\displaystyle p=a+b+c.}$
Erpin berdina duten bi ertzek mugatutako espazio zatiari angelu deritzogu. ${\displaystyle OP}$ eta ${\displaystyle OQ}$ ertzak mugatutako angelua ${\displaystyle {\widehat {POQ}}}$ bezala adierazten da. Normalean letra grekoz idazten dira angeluak.
Triangeluak kategorizatzeko terminologiak bi mila urte baino gehiago ditu, Euklides-en Elementuak liburuko lehenbiziko orrialdean definituta egonik.  Gaur egungo banaketan erabiltzen diren izenak, liburu horretan agertzen diren hitz grekoen itzulpen zuzenak, edo haien latineko itzulpenaren itzulpen berriak dira.
Euklides matematikari grekoak (3000 K.a.) hiru triangelu mota desberdin definitu zituen aldeen neurriari erreparatuz:
Grekoz: “τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς”, literalki “Hiru aldeko irudien gainean, isopleuron[aldekide] triangelu bat hiru aldeak neurri berekoak dituen triangelua da, isosceles[isoszelea] hiru aldeetariko bik neurri bera duten triangelua, eta scalene[eskalenoa] hiru aldeen neurriak desberdinak dituen triangelua.”^[2]
Hatch markak, Hash markak ere deiturikoak, triangeluen eta beste irudi geometrikoen diagrametan erabiltzen dira neurri bereko aldeak identifikatzeko. Alde bat markatuta egoten ahal da “tick”-en patroi batekin (tally markez osaturiko segmentu zuzen laburrak). Bi alde neurri berekoak dira, patroi berdinaren bidez markatuta badaude.
Triangeluen kasuan, gehienetan patroia ez da hiru marka baino gehiagoz osatuta egoten. Triangelu aldekide batek patroi bera du alde guztietan, isoszele batek bi aldetan bakarrik eta eskaleno batek patroi ezberdina du bere alde guztietan.
Modu antzekoan, angeluen barnean marrazturik, bat, bi edo hiru arku zentrokidez osaturiko patroiak erabiltzen dira angelu berdinak adierazteko: triangelu aldekide batek patroi bera du hiru angeluetan; triangelu isoszele batek patroi bera du bi angelutan bakarrik; eta triangelu eskaleno batek patroi desberdina du hiru angeluetan.
Triangeluak ere, haien barne-angeluen neurriagatik sailka daitezke (angeluak gradutan neurtzen dira).
Zuzenak ez diren triangeluei triangelu zeiharren izena ematen zaie, barne-angelu zuzenik ez duten triangeluei, hain zuzen ere.
Bi angelu berdin dituen triangeluak bi alde neurri berekoak edukiko ditu halaber, triangelu isoszele bat izanik. Era berean, angelu guztiak berdinak dituen triangeluak alde guztiak neurri berekoak edukiko ditu, triangelu aldekide bat izanik.
Triangelu zorrotzak izan daitezke:
Triangelu zuzenak izan daitezke:
Triangelu kamutsak izan daitezke:
Triangelu baten aldeen luzerak edota angeluen neurriak kalkulatzeko hainbat metodo daude. Metodo batzuk triangelu angeluzuzenetarako erabilgarriak diren bitartean, egoera konplexuagoetan beste metodo batzuk erabiliko dira.
Orokorrean ,triangeluak ebazteko, sinu eta kosinuaren teoremak erabiltzen dira. Hala ere, triangelu angeluzuzenen kasuan Pitagorasen teorema erabili ohi da.
Triangelu angeluzuzenetan sinu, kosinu eta tangentearen arrazoi trigonometrikoak erabil daitezke angeluen neurria edota alde ezezagunen luzera
kalkulatzeko. Arestian aipatu bezala, hauen aldeak ondoko eran izendatzen dira:
Eta angelu zorrotz baten arabera hurrengoa daukagu:
Angelu baten sinua aurkako katetoaren eta hipotenusaren luzeren arteko zatidura da.
${\displaystyle sin(\alpha )={\frac {aurkakoa}{hipotenusa}}={\frac {a}{c}}}$.
Angelu baten kosinua alboko katetoaren eta hipotenusaren luzeren arteko zatidura da.
${\displaystyle cos(\alpha )={\frac {albokoa}{hipotenusa}}={\frac {b}{c}}}$.
Angelu baten tangentea aurkako eta alboko katetoen luzeren arteko zatidura da.
${\displaystyle tan(\alpha )={\frac {aurkakoa}{albokoa}}={\frac {a}{b}}}$.
Oharra: Erlazio hauetako zatidurak ez dira triangelu angeluzuzenaren tamainaren menpekoak.
Alderantzizko funtzio trigonometrikoak triangelu angeluzuzen baten barneko angeluen neurria kalkulatzeko erabil daitezke, betiere edozein bi alderen neurria jakinda.
Aurkako katetoaren eta hipotenusaren luzerak jakinda, arcsin (arkosinu) funtzioa erabil daiteke angelu baten neurria kalkulatzeko.
${\displaystyle \theta =\arcsin({\frac {aurkakoa}{hipotenusa}})}$
Alboko katetoaren eta hipotenusaren luzerak jakinda, arccos (arkokosinu) funtzioa erabil daiteke.
${\displaystyle \theta =\arccos({\frac {ondokoa}{hipotenusa}})}$
Aurkako eta alboko katetoen luzerak jakinda, arctan (arkotangente) funtzioa erabil daiteke.
${\displaystyle \theta =\arctan({\frac {aurkakoa}{ondokoa}})}$
Trigonometria eta geometriari buruzko sarrera kurtsoetan ${\displaystyle {\ce {\sin ^{-1},\cos ^{-1},\tan ^{-1}}}}$ notazioa erabiltzen dira maiz ${\displaystyle \arcsin }$${\displaystyle ,\arccos }$ eta ${\displaystyle \arctan }$ erabili beharrean. Hala ere, maila altuagoko matematiketan ${\displaystyle \arcsin }$${\displaystyle ,\arccos }$ eta ${\displaystyle \arctan }$ da ohiko notazioa.  
Triangelu baten azalera kalkulatzeko, hainbat metodo daude:
Formularik sinpleena eta ezagunena hurrengoa da: ${\displaystyle A=b*h/2}$, non b triangeluaren  oinarriaren luzera eta h triangeluaren altuera den. Oinarri bezala edozein alde har daiteke, eta altuera alde horretatik aurkako erpinerainoko elkarzuta da.
Hala ere, formula hau bakarrik da erabilgarria altuera arazorik gabe lor daitekeenean.  
Trigonometriaren bitartez, altuera lor dezakegu, aurreko formulan erabiltzeko. Irudiaren notazioa erabiliz:
${\displaystyle T=b*a*sin(C)/2}$
${\displaystyle h=b*c*sin(A)/2}$
${\displaystyle h=a*c*sin(B)/2}$
Soilik aldeen luzerak jakinda kalkula daiteke triangelu baten azalera, Heronen formula erabiliz:
${\displaystyle A={\dfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}$,
non a, b eta c triangeluaren aldeak diren. Erdiparametroa erabiliz (s):
${\displaystyle A={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$ p triangeluaren erdiparametroa izanik: ${\displaystyle p={\dfrac {a+b+c}{2}}.}$
Perimetro berdineko triangeluen artean, triangelu aldekideek dute azalerarik handiena.
Izan bitez AB eta AC ${\displaystyle A}$ eta ${\displaystyle B}$ erpinak eta ${\displaystyle A}$ eta ${\displaystyle C}$ erpinak lotzen dituzten bektoreak, hurrenez hurren. Orduan, triangeluaren azalera era honetan lor daiteke:
${\displaystyle Azalera=}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\vert AB\times AC\right\vert }$.
Erpinak bi dimentsioko plano batean badaude, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ eta ${\displaystyle C}$ erpinen koordenatuak ${\displaystyle A(x_{A},y_{A})}$, ${\displaystyle B(x_{B},y_{B})}$ eta ${\displaystyle C(x_{C},y_{C})}$ izanik, determinantea erabiliz, hau izango da triangeluaren azalera:
${\displaystyle S={\dfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\dfrac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{C}-x_{A}y_{B}+x_{B}y_{A}-x_{B}y_{C}+x_{C}y_{B}-x_{C}y_{A}{\big |}.}$
Hiru dimentsiotan, ABC triangeluaren erpinen koordenatuak ${\displaystyle A=(x_{A},y_{A},z_{A})}$, ${\displaystyle B=(x_{B},y_{B},z_{B})}$ eta ${\displaystyle C=(x_{C},y_{C},z_{C})}$ izanik, honela kalkulatzen da triangeluaren azalera:
${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}}}.}$
Triangelu antzekoak izateko irizpideak hurrengoak dira:
Bi triangelu zuzenak antzekoak izateko, gutxienez hurrengo irizpidetako bat bete behar dute:
Desberdintza triangeluarrak dio triangelu baten edozein bi alderen luzeraren gehiketa hirugarren aldearen luzera baino handiagoa izan behar dela. Beraz, hiru aldeen luzera emanik, luzera horiek dituzten aldeez osaturiko triangelu bat existituko da baldin eta soilik baldin aldeek desberdintza triangeluarra betetzen badute.
Hiru angelu izanik, triangelu bat existituko da baldin eta soilik baldin hurrengo bi baldintzak betetzen badira:
Hiru angelu positibok (alpha, beta eta gamma), bakoitza 180° baino gutxiagokoa, triangelu bat sor dezakete baldin eta soilik baldin hurrengo baldintzetako bat betetzen bada:
${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}=1,}$
${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=1,}$
${\displaystyle \sin({2\alpha })+\sin({2\beta })+\sin({2\gamma })=4\sin({\alpha })\sin({\beta })\sin({\gamma }),}$
${\displaystyle \cos ^{2}{\alpha }+\cos ^{2}{\beta }+\cos ^{2}{\gamma }+2\cos({\alpha })\cos({\beta })\cos({\gamma })=1,}$
${\displaystyle \tan({\alpha })+\tan({\beta })+\tan({\gamma })=\tan({\alpha })\tan({\beta })\tan({\gamma }),}$
Azkeneko berdintzarako beharrezkoa da angelu guztiak 90°–ren desberdin izatea.
Triangelua hiru erpinetako poligono zein hiru aldetako poligono bezala defini daiteke. Triangelua poligonorik sinpleena eta diagonalik gabeko poligono bakarra da. Lerrokatuta ez dauden hiru puntuk beti definitzen dute triangelu bat, bai espazioan, bai planoan.
Edozein poligono zatitu daiteke triangelu kopuru finitu batean, ondokoak ez diren erpinak lotuz. Zatiketa hau egiteko triangelu kopuru minimoa n-2 da, n triangeluaren alde kopurua izanik (adibidez, karratua (n=4) bi triangelutan zatitzen da, karratuan diagonal bat marraztuz)^[7]. Triangeluen ikasketa funtsezkoa da beste poligonoen ikasketa aurrera eramateko, adibidez, Pick-en Teorema frogatzeko.
Geometria euklidearrean, triangelu baten barneko angeluen batuketa 180º-koa da, π radian-ekiko baliokidea dena:
${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }=\pi }$
Propietate hau geometria euklidearraren emaitza da. Orokorrean, geometria ez-euklidearrean ez da betetzen.
${\displaystyle a<b+c}$
${\displaystyle b<a+c}$
${\displaystyle c<a+b.}$
${\displaystyle {\frac {a}{sin(\alpha )}}={\frac {b}{sin(\beta )}}={\frac {c}{sin(\gamma )}}}$
${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\alpha }}$
${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\alpha }}$
${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\alpha }}$
${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$
Izan bedi plano euklidearreko puntu bat. Puntu hori triangeluaren barrualdekoa dela esaten da, triangeluaren “barnean” badago. Matematikoki esanda, puntu bat barrualdekoa dela esango dugu, puntutik pasatzen den zuzen bat marratzean, puntua zuzenak triangeluarekin ebakitzen duen puntuen artean badago^[1].
Triangelu baten hiru aldeak bere muga osatzen dute. Aldiz, triangeluaren barrualdean edo mugan ez dauden puntuak triangeluaren kanpoaldean daudela esaten da.  
Erpin batetik kontrako aldeko erdiko puntura doan zuzen segmentuari mediana esaten zaio. Medianaren propietate batzuk hurrengo hauek dira:
-Triangelu baten hiru medianak ebakitzen diren puntuari triangeluaren barizentroa esaten zaio.
-Mediana bakoitzak azalera berdineko bi triangelutan banatzen du triangelua. Barizentroaren eta erpin baten arteko distantzia medianaren 2/3 da.
-Hiru medianek azalera berdineko sei triangelutan banatzen dute triangelua.
Apolonioren teorematik hurrengo taulan agertzen diren formula praktikoak deduzitzen dira:
Triangelu baten alde bateko erdibitzailea alde horrekiko perpendikularra den eta aldearen erdiko puntutik pasatzen den zuzenari deritzo. Triangeluek hiru erdibitzaile dituzte: alde bakoitzeko bat. Hiru erdibitzaileak puntu berean ebakitzen dira. Puntu horri zirkunzentro deritzo.
Triangelu baten erdikariak bere angeluen erdikariak dira. Barruko eta kanpoko erdikariak existitzen dira.
Triangelu baten barruko hiru erdikariak ebakitzen diren puntuari inzentrua esaten zaio. Triangelu baten inskribatutako zirkunferentzia, hiru aldeei ukitzaile den zirkunferentzia bakarra da, zentrotzat inzentrua duena.
Bi angeluren kanpoko erdikariak eta hirugarren angeluaren barruko erdikaria ebakitzen diren puntuari exinzentro deritzo. Hiru exinzentro existitzen dira triangelu bakoitzean eta, horrekin batera, exinskribautako hiru zirkunferentzia, triangeluaren alde bakoitzari ukitzaile direnak.
Triangelu baten erpina eta kontrako aldea (edo bere luzapena) elkartzen dituen zuzen segmentu perpendikularrari triangeluaren altuera esaten zaio^[9]. Kontrako aldeari triangeluaren oinarria deitzen zaio.
Triangeluaren hiru altuerak ebakitzen diren puntuari ortozentro deritzogu^[10].

Angelu guztiak positiboak izan behar dira.
Angeluen batura 180° izan behar da.

Wikipediarekin konexio arazoren bat gertatu da: