manivelle

SARRERA DESBERDINA:

Système bielle-manivelle

${\displaystyle \ \ OB=R\sin \theta +{\sqrt {L^{2}-R^{2}\cos ^{2}\theta }}}$
${\displaystyle \ \ \theta =\arcsin \left({\frac {R^{2}+OB^{2}-L^{2}}{2R\;OB}}\right)}$
les courbes ci-contre obtenues à partir de l'équation horaire, donnent la course, la vitesse et l'accélération du système bielle-manivelle pour différents rapports longueur de bille / rayon de la manivelle. On constate suivant les cas
${\displaystyle C_{m}=F_{e}.R\cos \theta \left(1+{\frac {R\sin \theta }{\sqrt {L^{2}-R^{2}\cos ^{2}\theta }}}\right)}$
(1) ${\displaystyle \textstyle OH=r\sin \theta \ \ }$ (2) ${\displaystyle \textstyle HA=r\cos \theta \ \ }$ (3) ${\displaystyle \textstyle HB=OB-OH=x-r\sin \theta }$
${\displaystyle \ d=\epsilon r}$
${\displaystyle \textstyle HA=r\cos \theta +d=r(\cos \theta +\epsilon )}$
${\displaystyle \displaystyle x=r\left(\sin \theta +{\sqrt {\lambda ^{2}-(\cos \theta +\epsilon )^{2}}}\right)}$
${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'&=&{\frac {dx}{d\theta }}\\&=&r\cos \theta +{\frac {{\frac {1}{2}}\cdot (-2)\cdot r^{2}\cos \theta \cdot (-\sin \theta )}{\sqrt {\ell ^{2}-r^{2}\cos ^{2}\theta }}}\\&=&r\cos \theta \left(1+{\frac {\sin \theta }{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}}\right)\end{array}}}$
${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x''&=&{\frac {d^{2}x}{d\theta ^{2}}}\\&=&-r\sin \theta \left(1+{\frac {\sin \theta }{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}}\right)+r\cos \theta \left({\frac {\cos \theta }{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}}-{\frac {\sin ^{2}\theta \cos \theta }{(\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta )^{\frac {3}{2}}}}\right)\\&=&r\left(-\sin \theta +{\frac {\cos(2\theta )}{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\sin ^{2}(2\theta )}{(\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta )^{\frac {3}{2}}}}\right)\end{array}}}$
${\displaystyle {\begin{array}{lcl}a&=&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx}{d\theta }}\,{\frac {d\theta }{dt}}\right)\\&=&{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {dx}{d\theta }}\right)\,\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+{\frac {dx}{d\theta }}\,{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{d\theta ^{2}}}\,\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+{\frac {dx}{d\theta }}\,{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{d\theta ^{2}}}\,\omega ^{2}+{\frac {dx}{d\theta }}\cdot 0\\&=&x''\,\omega ^{2}\\\end{array}}}$
${\displaystyle F\cdot \omega \cdot r\cos \theta \left(1+{\frac {\sin \theta }{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}}\right)=C\cdot \omega }$
${\displaystyle C=F\cdot r\cos \theta \left(1+{\frac {\sin \theta }{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}}\right)}$
${\displaystyle \theta _{h}=-\theta \ ,\sin \theta _{h}=-\sin \theta \ ,\cos \theta _{h}=\cos \theta }$
${\displaystyle C=F\cdot r\cos \theta _{h}\left(1-{\frac {\sin \theta _{h}}{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta _{h}}}}\right)}$
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Le système bielle-manivelle est un assemblage mécanique qui tire son nom des deux pièces mécaniques qui le constituent : la bielle et la manivelle. Ce dispositif réalise la transformation du mouvement linéaire alternatif de l'extrémité de la bielle en un mouvement de rotation continu disponible sur la manivelle (vilebrequin), et vice-versa.
Apparu dans l’Empire romain (scierie de Hiérapolis), il constitue une innovation majeure complétant les cinq machines simples héritées des mécaniciens grecs. Sa cinématique, apparemment simple, cache une fonctionnalité technologique de première importance utilisée très couramment dans de nombreux mécanismes : moteur, pompe, scie, barrière automatique, etc.
Au XVIII^e siècle on l'utilise dans des dispositifs simples pour transformer l’énergie musculaire en mouvement rotatif (rouet). Au XIX^e siècle apparait une nouvelle utilisation avec les machines à vapeur. Aujourd'hui, il reste la solution technique couramment mise en œuvre dans les moteurs à piston pour réaliser la variation cyclique de volume dans la chambre de combustion.
Les systèmes bielle-manivelle semblent connus par les Romains dès la fin du III^e siècle. Ce mécanisme semble avoir été utilisé dans la scierie de Hiérapolis^[1],[2],[3], ainsi que dans deux scieries du VI^e siècle découvertes à Éphèse et Jerash. Il convertit le mouvement de rotation de la roue hydraulique en un mouvement linéaire entraînant les scies. Ces scieries sont les plus anciennes machines connues à associer une bielle à une manivelle^[1],[2],[3].
Les concepteurs de l'époque pour corriger les arrêts possibles sur les deux points morts qui peuvent bloquer le système, associent un volant d'inertie à l'axe de rotation. C'est un volant constitué d'une roue ou de barres en équerre munies de masses et qui régule la vitesse de rotation du système. Cette innovation est en fait l'ancêtre du régulateur à boules.
Le système bielle-manivelle est redécouvert au XV^e siècle. Un manuscrit anonyme, daté d’approximativement 1430, dit Anonyme de la guerre hussite^[4], contient plusieurs dessins de moulins à bras qui sont la première représentation figurée certaine de ce mécanisme : on y distingue parfaitement les bielles manœuvrées à bras, et les manivelles.
À la fin du Moyen Âge, le système bielle-manivelle constitue les prémisses d’un nouveau machinisme, d’abord de petite taille avec les machines à pédales qui libèrent la main de l’ouvrier, comme le tour, la meule ou le rouet (1470). L’interdiction de ce dernier, longtemps inscrite dans les règlements de corporations^[4], montre combien cette innovation est pertinente parce que déstabilisante du point de vue de l'organisation du travail. Viennent ensuite des machines de plus grande taille, actionnées par les roues des moulins, comme la scie hydraulique (Francesco di Giorgio Martini), la pompe aspirante et foulante (XVI^e siècle) ou le marteau hydraulique (martinet) qui permet de forger des pièces de grandes dimensions.
Au XIX^e siècle apparait une nouvelle utilisation avec les machines à vapeur et son essor sera fulgurant à travers le monde.
Quelques exemples de systèmes :
Le système bielle-manivelle permet la transformation du mouvement linéaire de l'extrémité de la bielle en un mouvement de rotation continu disponible sur la manivelle (vilebrequin), et réciproquement. Il est constitué de 4 pièces principales :
Le système est très généralement complété par un volant d'inertie stabilisant la vitesse de rotation de la manivelle.
La manivelle et l'effecteur constituent les deux pièces d'entrée-sortie du mécanisme.
La manivelle (motrice ou réceptrice) est animée d'un mouvement de rotation continue, alors que l'effecteur est animé d'un mouvement linéaire alternatif, rectiligne ou pas. La bielle est munie de deux articulations, d'un côté à la manivelle, et de l'autre à l'effecteur. Suivant le type de liaison imposé à l'effecteur, le système réalise les conversions de mouvement suivantes :
Rotation continue ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ mouvement rectiligne alternatif.
C'est le cas où l'extrémité de bielle est fixée à un piston mobile dans un cylindre ou plus généralement à une liaison glissière. L'extrémité de bielle décrit un segment de droite. Exemples :
Rotation continue ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ rotation alternative.
C'est le cas où l'extrémité de bielle est liée à une autre manivelle, une pédale ou un bras articulé. L'extrémité de bielle décrit un segment de courbe circulaire. Exemples :
et plus généralement tout mécanisme à quatre barres
Le mécanisme bielle-manivelle comporte un nombre cyclomatique égal à 1, et présente une mobilité utile. Le tableau ci-dessous répertorie les principales solutions cinématiques en indiquant le type de chaque liaison mécanique, les degrés d'hyperstatisme et de mobilité.
{*} La liaison éventuelle avec le volant d'inertie, s'il est présent, est une liaison encastrement.
On considère ici que le système bielle-manivelle est dans la configuration où la liaison de l'extrémité de la bielle est une liaison glissière (cas des moteurs et pompes) ; que le mécanisme est un mécanisme plan et que l'axe du piston croise l'axe de la manivelle (axes concourant). La géométrie, suivant le schéma ci-contre, est décrite par :
Dans notre configuration le point B est sur l'axe (O, y). On repère la position du mécanisme par la position angulaire ${\displaystyle \theta }$ de la manivelle. Vilebrequin tournant, l'angle ${\displaystyle \theta }$ est fonction du temps. En écrivant la longueur du segment h(t) = OB, il vient (voir calcul détaillé au § cinématique) :

avec ${\displaystyle \ \ \theta =\theta (t)=\omega t}$ dans le cas d'une rotation à vitesse constante.
Par dérivation, on obtient la vitesse puis l'accélération (voir en § cinématique).
La position angulaire de la manivelle θ en fonction de la position du piston (OB) se détermine avec la formule réciproque :

Il existe deux points où la vitesse s'annule pour changer de signe :
La distance séparant les deux points morts et valant 2R est appelée course du piston. Pour un système bielle-manivelle avec piston dans l'axe :
Quelques exemples de valeurs conventionnelles dans le cas des moteurs thermiques :
L'étude statique du mécanisme permet de déterminer la relation liant l'effort appliqué au piston et le couple exercé/disponible sur la manivelle. On considère le mécanisme en équilibre sous l'effet de l'ensemble des efforts extérieurs et on néglige les forces d'inertie (cas particulier d'un système à l’arrêt). C'est le principe de calcul adopté par les logiciels élémentaires de simulation mécanique, qui donnent l'évolution des efforts et du couple en fonction des positions angulaires.
Dans cette étude, on adopte les conventions suivantes :
Le problème statique${\displaystyle C_{m}=f({\vec {F}}_{e})}$ peut être résolu à l'aide de torseurs mais la symétrie du système permet une résolution graphique. On isole successivement la bielle, le piston et la manivelle et on applique les lois d'équilibre mécaniques :
L'étude ${\displaystyle F_{e}=f(C_{m})}$ est menée de la même manière en inversant simplement les deux dernières étapes.
En considérant que le système est de rendement 1, que la manivelle tourne à vitesse constante, et que les inerties sont négligeables, on établit une relation simplifiée donnant ${\displaystyle C_{m}}$ en fonction de ${\displaystyle F_{e}}$, à partir de l'égalité des puissances consommée et fournie (${\displaystyle F_{e}.V=C_{m}.\omega }$) :
Analyse :
Considérons :
Nous pouvons écrire les relations géométriques :
Le théorème de Pythagore donne : ${\displaystyle \textstyle AB^{2}=HB^{2}+HA^{2}\ \ }$ soit (4) ${\displaystyle \ \textstyle HB={\sqrt {AB^{2}-HA^{2}}}}$
Nous devons distinguer deux cas : l'axe du piston peut-être concourant avec l'axe de manivelle, ou pas.
En remplaçant avec (2) et (3) dans (4), il vient : ${\displaystyle \textstyle x-r\sin \theta ={\sqrt {\ell ^{2}-r^{2}\cos ^{2}\theta }}}$
d'où ${\displaystyle \ \displaystyle x=r\left(\sin \theta +{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}\right)}$
Notons ${\displaystyle d}$ le décalage entre les axes et définissons ${\displaystyle \epsilon }$ tel que :
Les relations écrites plus haut restent inchangées à l’exception de (2) qui devient :
En remplaçant (2) dans (4) nous obtenons :
La vitesse en fonction de ${\displaystyle \theta }$ s'obtient en dérivant la relation obtenue plus haut:
La vitesse en fonction du temps avec ${\displaystyle \theta (t)=\omega \,t}$
${\displaystyle {\begin{array}{lcl}v&=&{\frac {dx}{dt}}={\frac {dx}{d\theta }}\,{\frac {d\theta }{dt}}=x'\,\omega \\&=&\omega \,r\cos \theta \left(1+{\frac {\sin \theta }{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}}\right)\end{array}}}$
Accélération en fonction du temps :
L'égalité des puissances consommée et fournie s'écrit ${\displaystyle F\cdot v=C\cdot \omega }$. En remplaçant dans l'équation en haut, il vient :
D'où :
Si notre système tourne dans le sens horaire (contrairement au schéma)
et :